Figlio della pianista Lyda Indart e del chitarrista Cédar Viglietti, fin da piccolo ebbe modo di entrare in contatto con gli ambienti della musica classica e popolare. Studiò chitarra con in maestri Atilio Rapat e Abel Carlevaro.

Negli anni 60 sviluppò un'intensa attività come autore, compositore, cantante, docente e presentatore radiofonico. Collaborò col settimanale Marcha e creò e diresse il Núcleo de Educación Musical (Nemus).
La sua prima opera discografica, che risale al 1963, fu "Impresiones para canto y guitarra y canciones folclóricas" (Impressioni per canto e chitarra e canzoni folkloristiche) alla quale seguirono altre cinque opere fino al 1973.

Nel 1971 fondò l'etichetta Ayuí/Tacuabé, assieme a José “Pepe” Guerra, Braulio López, Myriam Dibarboure, María Teresa Sande, il musicologo Coriún Aharoniáned il notaio Edgardo Bello. Lo scopo di questo gruppo di musicisti era quello di promuovere e sostenere l'espressione musicale uruguayana di valore.

Viglietti divenne ben presto il rappresentante della coscienza civile internazionale, voce della pace ed oppositore del fascismo e la tirannia che imperversavano in Sudamerica negli anni '70. La sua opera era segnata da contenuti sociali e di sinistra con parole legate alle lotte popolari in Uruguay ed in America Latina.

Fu arrestato nel 1972 nell'ambito delle repressioni dei movimenti di sinistra che precedettero il colpo di stato del 1973 in Uruguay e in suo sostegno si mossero uomini del calibrodi Jean-Paul Sartre, François Mitterrand, Julio Cortázar e Oscar Niemeyer. A causa dello scalpore suscitato a livello internazionale dalla notizie dal suo arresto e dai sospetti di presunti maltrattamenti che avrebbe subito in carcere costrinsero le autorità a mostrarlo davanti alle telecamere per dimostrare che le sue mani, in particolare, non avevano subito danni. In tale occasione Viglietti riferì che il suo trattamento era stato migliore di quello subito da altri prigionieri politici.

Nel 1973 esiliò in Argentina e in seguito si recò in Francia,dove visse per undici anni. Durante l'esilio smise di pubblicare le sue opere musicali che vennero poi raccolte in un disco registrato dal vivo, intitolato "Trabajo de hormiga" (Lavoro da formica). Viglietti continuò comunque la sua intensa attività di giornalista e di commentatore radiofonico, ma soprattutto girò il mondo con tour musicali solidali presentando le sue canzoni di denuncia contro la dittatura in Uruguay ed in altri paesi latinoamericani.

Nell 1984 col suo ritorno a Montevideo, dove fu ricevuto da migliaia di persone in un concerto che egli ricorda come "il più emozionante di quarant'anni di carriera". Da quel momento pubblicò e ripubblicò numerosi lavori tra i quali è da notare quello dal titolo A dos voces (A due voci) con Mario Benedetti nel 1985 che rappresenta la sintesi discografica di vari concerti realizzati assieme al poeta uruguaiano durante il comune esilio.

Solo dal 1990, dopo un lungo processo contro la multinazionale discografica Orfeo,, Viglietti riuscì a tornare in possesso dei suoi dischi registrati prima dell'esilio.. Rimasterizzati da lui stessosono stati ripubblicati con l'etichetta Ayuí/Tacuabé.

Nel repertorio del coro:

Milonga de andar lejos